justavortex (justavortex) wrote,
justavortex
justavortex

Category:

о соблюдении закона сохранения при движении небесных тел

Ио́ганн Ке́плер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — «немецкий математик, астроном, механик, оптик и астролог, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы» — открыл свои законы небесной механики на основе тщательнейшей обработки данных астрономических наблюдений Тихо Браге. Он установил, что планета Марс движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. При этом расстояние между центрами масс планеты и источника гравитации периодически изменяется, от ближайшей к центральному телу, вокруг которого совершается движение, вершины эллипса, называемой «перицентром» (для Солнца – периге́лием), до наиболее удалённой от центрального тела вершины – «апоцентра» (для Солнца – афе́лия).

Таково содержание первого закона Кеплера. В чём состоит его второй закон?
Обращение планеты вокруг Солнца (вокруг фокуса эллипса) происходит с переменной угловой скоростью:
ω=dφ/dt,

где φ – угол, отсчитываемый из фокуса, как начала координат, от фокальной оси, совпадающей с направлением вдоль большой оси эллипса, до направления к произвольной точке орбиты,
t – время.
Наблюдаемая из фокуса линейная (тангенциальная) скорость перемещения объекта, равная произведению ωρ, тоже переменная.
dr/dt=Vε sinφ
Но Кеплер установил, что радиус-вектор движущейся точки (обозначим его через ρ) описывает («заметает») в равные промежутки времени равные площади эллипса. Иначе говоря, постоянной оказывается величина «секториальной скорости», равной половине произведения тангенциальной скорости ωρ на расстояние ρ, т.е. величина (1/2)ωρ²=const.
Как известно, величина удвоенного значения «секториальной скорости» имеет в теоретической механике название момента импульса (обозначим его через М), в данном случае определяемого относительно фокуса, в котором находится центр притяжения, т.е:
М=ωρ²=const.
Таков второй закон Кеплера.
Теперь перенесёмся во времени в конец XVIII века, когда французский астроном Жозеф Жером Франсуа Лаланд (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807) открыл единое полярное уравнение конического сечения:
ρ=р/(1+ε cosφ),
где ε – эксцентриситет коники (т.е. круговой, эллиптической, параболической или гиперболической орбиты),
р – фокальный параметр, равный радиусу кривизны в вершине коники (для круговой орбиты фокальный параметр равен её радиусу).
Это уравнение долгое время оставалось (да и сейчас в нашей справочной литературе остаётся) «безымянным», поскольку оно было приведено в 1807 году в «Трактате о небесной механике» французского астронома, математика и физика Пьера Симона Лапласа без указания имени его автора, из-за наложенного «по личным мотивам» императором Наполеоном запрета на труды Лаланда и любые упоминания о нём в печати (правда, ссылка на Лаланда появилась в немецком переводе трактата Лапласа, но не привлекла внимания учёных).
После вышесказанного остаётся «делом техники» вычислить, для произвольной точки конической траектории, величину кинетической энергии движущегося по этой траектории объекта. Эта энергия, в любой точке конической траектории, равна половине квадрата линейной скорости объекта. Соответствующий расчёт этой величины был мною ранее приведён в одном из предыдущих постов. Напомню конечный результат расчёта.
Кинетическая энергия (приведённая к единичной массе движущегося объекта и выраженная через величину первой космической скорости V на круговой орбите, т.е. при ε=0) в произвольной точке конической орбиты равна:

Ек=(V²/2)(1+2ε cosφ+ε²).
Здесь же заметим, что величина тангенциальной скорости объекта в произвольной точке конической траектории равна:
Vт=V(1+ε cosφ).
А с учётом того, что расстояние движущегося по конической траектории объекта до центра притяжения равно
ρ=р/(1+ε cosφ),
видим, что произведение этих двух величин, представляющее собой момент импульса объекта М, в полном согласии со вторым законом Кеплера, остаётся неизменным:
М=ρ∙Vт=V∙р=const.

Выполненные мною расчёты физически осмысленны и математически строги. Однако понятно, что кинетическая энергия объекта в процессе движения по орбите не может увеличиваться и уменьшаться без соблюдения некоторого энергетического эквивалента. И, если точно известно, в каких количествах эта энергия пополняется (из некоего источника) и затем убывает (возвращаясь в тот же источник), то ожидаемое (рассчитываемое заранее) изменение «запаса энергии», т.е. потенциальной энергии, участвующей в энергетическом обмене, должно соответствовать фактически происходящим изменениям кинетической энергии объекта, т.е. подтверждать всеобщий характер закона сохранения энергии.
Почему же в данном случае этого не происходит? Всё дело в том произволе, который допускается при определении величины так называемого «потенциала» (в данном случае гравитационного). Как он вычисляется?
Сила гравитации, приведённая к единичной массе объекта и равная Gm/ρ² (G – гравитационная постоянная, m – масса источника гравитации), интегрируется по ρ в пределах от ρ=∞ до ρ=R, где R – текущее расстояние от объекта до центра притяжения. Полученный результат интегрирования, называемый гравитационным «потенциалом» тела в данной точке орбиты, таков:
Н= –Gm/R.

Однако, какое отношение к решаемой задаче (на движение объекта по конической траектории) имеет интегрирование силы гравитации по тому пути, по которому объект заведомо не будет перемещаться?
..в определении потенциальной энергии Еп возможны варианты. Если (как это делают обычно) условно принять за нулевой уровень Еп тот, при котором тело находится в бесконечно удалённой точке (до которой эллиптическая орбита не простирается, в чём и состоит условность этого подхода), то придётся оперировать «отрицательными энергиями» (лишь при движении по параболе будет достигнут тождественный ноль Еп+Ек≡0). При этом закон сохранения энергии, конечно, соблюдается (если я утверждал обратное, то, значит, я был неправ).

Однако, конечно, более естественно принять за нулевой уровень потенциальной энергии тот, при котором тело находится на исходной круговой орбите (при нулевом эксцентриситете ε=0) или пересекает эту орбиту (при ε>0).

Тогда, при Еп=0, тело будет находиться от центра притяжения на расстоянии r=p, равном фокальному параметру, а тангенциальная скорость в этот момент будет равна:

V=√(GM/p),

т.е. равна скорости на исходной круговой орбите.

При этом будет φ=90° и cosφ=0, следовательно, кинетическая (а, значит, и суммарная, поскольку Еп=0) энергия будет равна Е=Ек= (V²/2)(1+ε²).

При произвольном φ приращение кинетической энергии, относительно исходного (при φ=90°), составит:

ΔЕк= (V²/2)(2ε cosφ )=V²ε cosφ.

Аналогично, приращение потенциальной энергии, относительно нулевой на круговой орбите, составит:

ΔЕп= –(GM/p)ε cosφ= –V²ε cosφ,

т.е. ΔЕк+ΔЕп=0.

Таким образом, суммарная энергия будет оставаться постоянной:

Е=Ек+Еп= (V²/2)(1+ε²)=const.

Вот вам и ответ на вопрос, почему при движениях по эллиптическим и гиперболическим траекториям (о параболических траекториях – разговор особый) закон сохранения энергии как суммы кинетической энергии (определяемой физически и математически корректно) и потенциальной энергии (приравниваемой к фиктивной, не связанной с решаемой задачей, величине «потенциала») не соблюдается. Определяйте корректно величину потенциальной энергии (путём интегрирования силы по тому пути и в том скоростном режиме, какие соответствуют реальному движению объекта), и баланс энергий (кинетической и потенциальной) сойдётся!
Теоретическую механику пришла пора срочно переводить с фиктивного языка «потенциалов» на физически реальный язык сил!
..При физически и математически корректных расчётах энергия (в теории, как и на практике!) должна переходить из одной формы в другую и обратно в эквивалентных количествах.
И всё так и было бы, если бы физики-теоретики соблюдали логически строгую последовательность расчётов: сначала решаем дифференциальное уравнение движения в виде баланса сил по третьему закону механики, а потом рассчитываем энергетические характеристики динамического процесса путём интегрирования сил по ставшему уже известным пути движения исследуемого объекта.
Ан, нет! В теоретической физике до сих пор господствует миф о подчинении Природы некоему «принципу наименьшего, наибольшего или стационарного действия». И, руководствуясь этим «принципом», энергетические характеристики динамических процессов можно просто «угадывать» (по сути, подгоняя под шаблон) до и даже без решения дифференциальных уравнений движения!
Конкретный пример. Надо рассчитать энергетику эллиптического движения (скажем, для космического аппарата, обращающегося вокруг Земли). Допустим, что мы выбрали точку «старта», где аппарату сообщается дополнительный импульс, и он переходит с круговой орбиты R на эллиптическую орбиту с эксцентриситетом ε. При радиусе круговой орбиты R величина первой космической скорости V равна:
V=√(Gm/R),
где G – гравитационная постоянная,
m – масса Земли.
Для упрощения расчётов динамические характеристики объекта будем далее приводить к его единичной массе. Тогда величина V будет представлять не только скорость, но и импульс объекта на круговой орбите, а величина V²/2 будет представлять его кинетическую энергию. Силу гравитации будет представлять ускорение свободного падения, которое на расстоянии R от центра Земли равно:
g=Gm/R².
Баланс центробежной и центростремительной сил будет таким:
V²/R=Gm/R².
Теперь в точке «старта» (с круговой на эллиптическую орбиту) увеличим импульс объекта на величину εV, так что его тангенциальная скорость станет равной V(1+ε). Тем самым, мы увеличим фокальный параметр орбиты (равный кривизне траектории в вершине эллипса, как и любой коники) до величины:
р=R(1+ε).
Одновременно возрастёт центробежная (и равная ей по модулю центростремительная) сила в (1+ε) раз:
V²(1+ε)²/р=V²(1+ε)²/R(1+ε)=V²(1+ε)/R.
Но, заметим, сила гравитации, направленная к центру Земли, осталась неизменной, поэтому в балансе центробежной и центростремительной сил появляется, сверх силы гравитации Gm/R², «добавка» величиной εV²/R, которая играет роль возвращающей силы к положению равновесия, каковым является круговая орбита радиусом R:
V²(1+ε)/R=Gm/R+εV²/R.
В вершине эллипса полярный угол φ (между фокальной осью и направлением из фокуса на объект) равен нулю. Посмотрим, как будут выглядеть динамические параметры орбиты при φ=90°, соответствующем положению равновесия.
При φ=90° расстояние до объекта (для любой конической траектории) становится равным фокальному параметру р, т.е. возрастает в (1+ε) раз. Соответственно (по второму закону Кеплера), во столько же раз уменьшается тангенциальная скорость, становясь равной первой космической V.
Казалось бы, объект вернулся на исходную круговую орбиту радиусом р=R. Однако, теперь появилась радиальная скорость величиной εV, из-за наличия которой объект «проскакивает» положение равновесия, продолжая движение вплоть до достижения, при φ=180°, второй вершины эллипса, удалённой от центра притяжения на величину р/(1–ε).
Интересно отметить, что первоначальные смещения:
- координаты объекта, влево вдоль фокальной оси, на величину –εR,
- линейной скорости объекта, вверх перпендикулярно фокальной оси, на величину +εV,
- центростремительной силы, вправо вдоль фокальной оси, на величину +εGm/R², –
имеют вид триады векторов, сохраняющих ориентацию на плоскости. Так, при φ=0 и φ=180° эти смещения складываются с соответствующими параметрами исходной круговой орбиты линейно, при φ=90° как катеты по теореме Пифагора, а в общем случае как стороны косоугольного треугольника (по обобщённой теореме Пифагора).
Следует иметь в виду, что при произвольном угле φ сила гравитации разлагается на две перпендикулярные составляющие, и вместо одного уравнения силового баланса получаются два:
- одна часть силы гравитации, направленная к центру кривизны (не совпадающему с фокусом), уравновешивает центробежную силу,
- другая часть, направленная по касательной к орбите, уравновешивает линейную силу инерции, возникающую при уменьшении (на верхней полуветви) и последующем увеличении касательной скорости объекта.
Как видим, для полного расчёта траектории объекта нам не потребовалось никаких искусственных гравитационных «потенциалов», которые для каждой из точек численно равны значениям половины квадрата второй космической скорости объекта, а реальный физический смысл и прямое отношение к решаемой задаче имеют только в случае, когда рассматриваются параболические траектории движения объектов.
Частично отсюда с исправлениями, http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,3126.70/wap2.html, частично по итогам переписки с А.М. Петровым.
Subscribe

  • Тот, да не тот или G.(3)

    Наш новый знакомый Нингишзидда часто изображался древними как несущий или ведущий барана. Понятно, что барана ведут новым покровителям и понятно, что…

  • G.(2)

    Кадуцей. Официальный смысл не особенно интересен - подарок Аполлона Гермесу "в знак примирения". Но интересно, что внезапно он встречается на…

  • G.

    Итак, сейчас мы покажем, что существовало лицо, которое не просто приняло "сторону силы", но получило, в силу своего прошлого статуса, общее…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments